Kép: https://sefmatek.lapunk.hu/kombinatorika-1128993
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Például:
- hány 5 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával?
(ismétlés nélküli permutáció)
az első helyre bármelyik számot választhatom az 5
közül, a második helyre a maradék 4-ből, a harmadikra a maradék 3-ból
választhatok stb., így összesen 5·4·3·2·1=120
szám készíthető
szám készíthető
- hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek egyszeri felhasználásával?
(ismétlés nélküli variáció)
az első helyre bármelyik számot választhatom az 5
közül, a második helyre a maradék 4-ből, a harmadikra a maradék 3-ból
választhatok, azaz összesen 5·4·3=60 szám készíthető
- hány 3 jegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, ha mindegyiket
többször is felhasználhatom?
többször is felhasználhatom?
(ismétléses variáció)
mindhárom helyre bármelyik számjegy kerülhet, így összesen 5·5·5=125 szám készíthető
- hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyek egyszeri felhasználásával?
(vegyes feladat)
az első helyre 4 számjegyből választhatok (0 nem
állhat az első helyen), a második helyre a maradék 4-ből bármelyik
kerülhet (itt már lehet 0), a harmadikra a maradék 3-ból bármelyik stb.,
azaz összesen 4·4·3·2=96 szám készíthető
- hány 4 jegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom?
(vegyes feladat)
az első helyre 4 számjegyből választhatok (0 nem állhat
az első helyen), a második helyre bármelyik kerülhet (itt már lehet 0), a
harmadikra szintén bármelyik stb., azaz összesen 4·5·5·5=500 szám
készíthető
Típusfeladatok:
Egy 10 tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik?
(ismétlés nélküli kombináció)
1. megoldás: az első ember 9 másikkal fog kezet, a
második 8 emberrel (az elsővel való kézfogását az első embernél már
beszámítottuk), a harmadik 7 emberrel stb., azaz összesen
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 kézfogás történik.
2. megoldás: minden ember 9 másikkal fog kezet, ez
összesen 9·10=90. Így azonban minden kézfogást duplán számolunk (mindkét
"kézfogónál" beleszámítjuk), tehát kettővel el kell osztani, azaz
összesen 90/2=45 kézfogás történik.
3. megoldás: annyi kézfogás történik, ahányféleképpen kiválaszthatunk 2 embert a 10-ből. Azaz "10 alatt a 2"=10!/(2!·8!)=45
Egy 12 csapatos labdarúgótornán hányféle sorrend alakulhat ki a dobogón?
(ismétlés nélküli variáció)
Az első helyre a 12 csapatból bármelyik kerülhet, a
második helyre a maradék 11-ből, a harmadikra a maradék 10-ből
választhatunk, azaz összesen 12·11·10=1320-féle sorrend lehetséges.
Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van?
(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)
(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)
(ismétléses variáció)
Mind az 5 házhoz használhatjuk bármelyiket a 4-féle festék közül, azaz összesen 4·4·4·4·4=1024 lehetőség van.
Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni.
Hányféle kifestés létezik, ha 7-féle festékünk van, és minden háznak
különböző színűnek kell lenni?
(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)
(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)
(ismétlés nélküli variáció)
Az első házhoz 7-féle festékből választhatunk, a
másodikhoz a maradék 6-ből, a harmadikhoz a maradék 5-ből stb., azaz
összesen 7·6·5·4·3=2520 lehetőség van.
Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni.
Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van, és a szomszédos
házak nem lehetnek egyforma színűek?
(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)
(Egy házhoz csak egyféle festéket használunk, a festékeket nem lehet keverni.)
(vegyes feladat)
Az első házhoz 4-féle festékből választhatunk, a
másodikhoz a maradék 3-ből, a harmadikhoz szintén 3-ből (a második ház
színét nem választhatjuk, de az elsőét igen), az összes továbbihoz is 3
színből, azaz összesen 4·3·3·3·3=324 lehetőség van.
Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, egy zöld, egy kék, egy piros és egy sárga golyót?
(ismétlés nélküli permutáció)
Az első helyre 5 színből választhatunk, a másodikra a
maradék 4-ből, a harmadikra a maradék 3-ből stb., azaz összesen
5·4·3·2·1=120 lehetőség van.
Hányféleképpen lehet sorba rakni egy fehér, két zöld és három kék golyót?
(ismétléses permutáció)
Ha mind a 6 golyó különböző színű lenne, akkor
6·5·4·3·2·1=720 lehetőségünk volna. A két zöld golyót 2·1=2, a három
kéket pedig 3·2·1=6-féleképpen lehet sorba rakni. Mivel az azonos
színűeket egyformának tekintjük, az egymás közötti sorrendjeiket nem
különböztetjük meg, tehát a 720 lehetőséget 2-vel, ill. 6-tal el kell
osztani, azaz összesen 720/(2·6)=60 lehetőség van.
Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét.
Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki csak
egy könyvet kaphat?
(ismétlés nélküli variáció)
Az első könyvet a 10 ember közül bárkinek adhatjuk, a
második könyvet a maradék 9, a harmadikat a maradék 8 közül bármelyiknek
stb., azaz összesen 10·9·8·7=5040 lehetőség van.
Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét.
Hányféleképpen tehetjük meg, ha a könyvek egyformák, és mindenki csak
egy könyvet kaphat?
(ismétlés nélküli kombináció)
A kérdés az, hogy hányféleképpen választhatjuk ki a 10
ember közül azt a négyet, aki könyvet kap (mivel a könyvek egyformák, a
kiválasztás sorrendje nem számít). Összesen "10 alatt a 4" = =
10!/(4!·6!)=210 lehetőség van.
Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét.
Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki több
könyvet is kaphat?
(ismétléses variáció)
Mind a 4 könyvet kaphatja a 10 közül bármelyik ember, azaz összesen 10·10·10·10=10000 lehetőség van.
Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg,
ha a könyvek egyformák, és mindenki több könyvet is kaphat?
ha a könyvek egyformák, és mindenki több könyvet is kaphat?
(ismétléses kombináció)
1. megoldás: az ismétléses kombináció képlete nem
érettségi anyag, de a következő gondolatmenet alapján megalkothatjuk az
általános képletét. Szemléltessük a kiosztást a következőképpen: a 10
embert jelképezze 10 fehér golyó, a 4 könyvet pedig 4 fekete golyó.
Rakjuk sorba a 10 fehér golyót, és mindegyik elé tegyünk annyi feketét,
ahány könyvet kap a neki megfelelő ember. Pl. az első ember 1 könyvet
kap, a negyedik kettőt, a tizedik pedig egyet: ●○○○●●○○○○○○●○
a lerakási szabályunk miatt a 10. fehér golyó után semmiképpen nem állhat fekete, így azt el is hagyhatjuk: ●○○○●●○○○○○○●
A könyveket tehát annyiféleképpen oszthatjuk ki, ahányféleképpen lehet 9 fehér és 4 fekete golyót sorba rendezni. Ezt 13!/(9!·4!)=715-féleképpen tehetjük meg (ha az összes golyó különböző színű lenne, akkor 13·12·...·2·1=13! lehetőség volna. A 9 fehér golyót 9·8·...·2·1=9!, a 4 feketét pedig 4·3·2·1=4!-féleképpen lehet sorba rendezni. Mivel az azonos színűeket egyformának tekintjük, az egymás közötti sorrendjeiket nem különböztetjük meg, tehát a 13! lehetőséget el kell osztani 9!-sal és 4!-sal).
a lerakási szabályunk miatt a 10. fehér golyó után semmiképpen nem állhat fekete, így azt el is hagyhatjuk: ●○○○●●○○○○○○●
A könyveket tehát annyiféleképpen oszthatjuk ki, ahányféleképpen lehet 9 fehér és 4 fekete golyót sorba rendezni. Ezt 13!/(9!·4!)=715-féleképpen tehetjük meg (ha az összes golyó különböző színű lenne, akkor 13·12·...·2·1=13! lehetőség volna. A 9 fehér golyót 9·8·...·2·1=9!, a 4 feketét pedig 4·3·2·1=4!-féleképpen lehet sorba rendezni. Mivel az azonos színűeket egyformának tekintjük, az egymás közötti sorrendjeiket nem különböztetjük meg, tehát a 13! lehetőséget el kell osztani 9!-sal és 4!-sal).
2. megoldás: Vegyük sorra az összes lehetőséget:
Ha mind a 4 könyvet ugyanaz az ember kapja, akkor 10-féleképpen oszthatjuk ki.
Ha egy ember kap 3 könyvet, egy másik pedig 1-et, akkor 90-féleképpen oszthatjuk ki: a 3-könyvest 10, az 1-könyvest pedig a maradék 9 emberből választhatjuk ki, azaz összesen 10·9=90 lehetőség van.
Ha 2 ember kap 2-2 könyvet, akkor 45-féleképpen oszthatjuk ki :"10 alatt a 2"= =10!/(2!·8!)=45-féleképpen választhatjuk a 10-ből azt a 2 embert, aki könyvet kap.
Ha 4 ember kap 1-1 könyvet, akkor 210 lehetőség van :"10 alatt a 4"=10!/(4!·6!)=210-féleképpen választhatjuk ki a 10-ből azt a 4 embert, aki könyvet kap.
Ha egy ember kap 2 könyvet, 2 pedig 1-1 könyvet, akkor 360 lehetőségünk van: a 2-könyvest 10 emberből választhatjuk ki, a két 1-könyvest pedig a maradék 9-ből ("9 alatt a 2"=9!/(2!·7!)=)36-féleképpen, azaz összesen 10·36=360-féleképpen
választhatjuk ki a 3 emberünket.
Összesen tehát 10+90+45+210+360=715 lehetőség van.
Ha mind a 4 könyvet ugyanaz az ember kapja, akkor 10-féleképpen oszthatjuk ki.
Ha egy ember kap 3 könyvet, egy másik pedig 1-et, akkor 90-féleképpen oszthatjuk ki: a 3-könyvest 10, az 1-könyvest pedig a maradék 9 emberből választhatjuk ki, azaz összesen 10·9=90 lehetőség van.
Ha 2 ember kap 2-2 könyvet, akkor 45-féleképpen oszthatjuk ki :"10 alatt a 2"= =10!/(2!·8!)=45-féleképpen választhatjuk a 10-ből azt a 2 embert, aki könyvet kap.
Ha 4 ember kap 1-1 könyvet, akkor 210 lehetőség van :"10 alatt a 4"=10!/(4!·6!)=210-féleképpen választhatjuk ki a 10-ből azt a 4 embert, aki könyvet kap.
Ha egy ember kap 2 könyvet, 2 pedig 1-1 könyvet, akkor 360 lehetőségünk van: a 2-könyvest 10 emberből választhatjuk ki, a két 1-könyvest pedig a maradék 9-ből ("9 alatt a 2"=9!/(2!·7!)=)36-féleképpen, azaz összesen 10·36=360-féleképpen
választhatjuk ki a 3 emberünket.
Összesen tehát 10+90+45+210+360=715 lehetőség van.
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése